Доказываем теорему об окружности 9 точек двумя способами! Лемма о трезубце, внешняя лемма о трезубце, ортоцентрический треугольник, прямая Эйлера — все эти факты, переплетаясь, позволяют увидеть настоящую красоту школьной геометрии!
Мои курсы:
VK:
Задачник:
Донат:
0:00 — Окружность девяти точек
6:34 — Лемма о трезубце
10:06 — Внешняя лемма о трезубце
14:42 — Ортотреугольник
17:10 — Окружность девяти точек (второе доказательство)
19:48 — Прямая Эйлера
UPD. В момент 17:58 должно быть «на биссектрисе угла HbHaE». Спасибо Дмитрию Ушакову, что обратил на это внимание!
НЕВЕРОЯТНО красивые теоремы элементарной геометрии, которые мы здесь доказали.
1. Теорема об окружности 9 точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности.
2. Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам. Обобщенная лемма о трезубце.. В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, точка Ib — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, отрезок IIb пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L, тогда отрезки LA, LC, LI, LIb равны.
3. Внешняя лемма о трезубце. Докажите, что точка пересечения биссектрисы внешнего угла B треугольника ABC с его описанной окружностью равноудалена от точек A, C, Ia, Ic, где Ia и Ic — центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающиеся сторон BC и AB соответственно.
4. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
5. Расстояние от ортоцентра до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противоположной этой вершине.
6. Прямая Эйлера. В любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой.
При этом мы опирались на стандартные факты школьного курса
7. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.
8. Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.
9. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие второю сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.
10. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
11. Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.
12. Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
13. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
14. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
15. Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
16. Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности,вписанной в треугольник.
17. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
18. Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.
19. Признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
20. Если трапеция равнобедренная, то ее можно вписать в окружность.
21. Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла
22. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°
23. Центр описанной окружности многоугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
24. Внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с ним.
25. Если в выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны, то его можно вписать в окружность.
Доказательство 25-го факта. Предположим обратное: выпуклый четырехугольник ABCD имеет равные углы ABD и ACD, но при этом не является вписанным. Опишем окружность около треугольника ABD. 1 случай. Точка C оказалась внутри окружности. Продлим луч DC (за точку C) до пересечения с окружностью, и точку пересечения назовем C’. Тогда ∠ABD=∠AC’D как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, но в то же время ∠ABD=∠ACD по дано. А это противоречие: ведь из равенства ∠ACD=∠AC’D прямые AC’ и AC совпадают, то есть C=C’. 2 случай, когда точка C лежит вне окружности — аналогичен.
ДРУГИЕ РОЛИКИ с крутыми рисунками и построениями:
1. Математика мироздания (feat. Борис Трушин):
2. 10-часовое занятие по стереометрии:
3. Прокачиваем стереометрию:
#Математика #Геометрия #Научпоп
1 view
13
4
5 months ago 08:51:11 1
Агата Кристи. И в трещинах зеркальный круг. Аудиокнига
5 months ago 02:49:19 1
Вариант #28 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2024| Математика Профиль| Оформление на 100 Баллов
5 months ago 03:24:39 4
Вика и Вадим Цыгановы, которые поддерживают армию России
6 months ago 03:58:57 1
Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часа | №6, 7, 13 из ЕГЭ 2024 по математике
6 months ago 11:59:59 4
Вся Математика за 12 часов, с Нуля до Профиля ЕГЭ.
6 months ago 02:18:33 5
Как связать классический мужской джемпер. Подробный МК
6 months ago 00:02:53 3
#15. Олимпиадная задача с параметром! Система неравенств
6 months ago 02:35:30 1
Математика Ященко вариант 3. Новый Профильный ЕГЭ 2024
6 months ago 02:59:30 1
Новый Профильный ЕГЭ 2024. Математика Ященко вариант 1
6 months ago 01:01:56 1
Master Fury - Circles of Hell (Full Release). 2013.
6 months ago 03:50:07 1
Профильный ЕГЭ 2024. Уравнения с нуля. Задача 13. миниСИРОП
6 months ago 03:10:56 1
Профильный ЕГЭ 2024. Графика по параметрам с нуля. Задача 18. миниСИРОП #параметры