Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Геометрия 8 класс Урок№33 - Описанная окружность. На уроке мы узнаем о вписанной окружности, правиле её существования для многоугольника. Введем новое понятие: описанная окружность. Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность. На рисунке четырёхугольник MNKP вписан в окружность с центром O, так как все его вершины лежат на этой окружности. На рисунке четырёхугольник ABCD не является вписанным в окружность, т.к. вершина C не лежит на окружности. Рассмотрим треугольник АВС и впишем его в окружность. Всегда ли это возможно сделать? Докажем теорему: Около любого треугольника можно описать окружность. Дано: ∆ABC Доказать: существует окружность, что A, B, C принадлежат этой окружности. Доказательство: Построим в треугольнике серединные перпендикуляры к сторонам и обозначим точку их пересечения О. По свойству серединных перпендикуляров точка О равноудалена от точек А, В и С, т.е. OA = OB = OC. Поэтому окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все три вершины треугольника, а значит является описанной около треугольника АВС. Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Что и требовалось доказать. Четырехугольник, вокруг которого можно описать окружность обладает свойством: в любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Дано: ABCD вписанный четырехугольник. Доказать: ∠B ∠D = 180° и ∠A ∠C = 180°. Доказательство: Рассмотрим вписанный угол АВС. Его градусная мера равна ∠ABC = 0,5 ∙ ∪ADC. Градусная мера вписанного угла ADC равна ∠ADC = 0,5 ∙ ∪ABC. Сумма углов АВС и ADC равна ∠ABC ∠ADC = 0,5(∪ADC ∪ABC) = 0,5 ∙ 360° = 180°. Что и требовалось доказать. Обратное утверждение также верно. Докажите его самостоятельно: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.