Как найти интеграл от функции sqrt(x^2+1+sqrt(x^4+x^2+1)) на [−1/2, +1/2]? // Сергей Фролов / Математический мирок

Найти определённый интеграл от функции sqrt(x^2 1 sqrt(x^4 x^2 1)) на [−1/2, 1/2]. Идея решения заключается в использовании цепочек подстановок. Ключевой является подстановка Эйлера. Каждая замена переменной приводит к определённому упрощению подынтегральной функции. Исходный определённый интеграл в результате замены переменной преобразуется сначала к несобственному интегралу 2-го рода (интегралу от неограниченной функции), а затем — к несобственному интегралу 1-го рода (интегралу по неограниченному промежутку). В обоих случаях несобственные интегралы являются сходящимися. В результате мы приходим к несобственному интегралу 1-го рода от дробно-рациональной функции. Представляем подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, каждая из которых зависит только от квадрата аргумента. Находим первообразную каждой дроби и применяем формулу Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В результате получаем ответ. Задача была предложена на 2023 MIT Integration Bee Finals.