Как доказать, что 1/2−1/3+1/4−1/5+1/6−...−1/999+1/1000 < 2/5? // Сергей Фролов / Математический мирок

Отметим, что если к единице добавить сумму, стоящую в левой части неравенства, взятую с противоположным знаком, то мы получим тысячную частичную сумму хорошо известного знакочередующегося ряда, сходящегося к логарифму двух. Отсюда следует, что левая часть неравенства близка к значению выражения 1−ln2. Для доказательства неравенства переписываем сумму, стоящую в левой части неравенства, группируя каждое слагаемое слагаемые с чётными номерам со слагаемым, следующим за ним. Сумма каждых таких двух слагаемых отрицательна. Подбираем необходимое количество первых слагаемых, чтобы получить нужную нам оценку.